magnify
Home Matematika Teorija 9 klasė Lygčių sprendimas sveikaisiais skaičiais

Lygčių sprendimas sveikaisiais skaičiais

Sprendžiant lygtis sveikaisiais arba natūraliaisiais skaičiais sąlyginai galima išskirti tokius sprendimo metodus:

  1. lygčių sprendimas skaidant dauginamaisiais;
  2. lygties su dviem nežinomaisiais sprendimas kaip kvadratinės vieno kintamojo atžvilgiu;
  3. liekanų metodas;
  4. sveikosios dalies išskyrimas.

Lygčių sprendimas skaidant dauginamaisiais

1 pavyzdys: Išspręskime lygtį sveikaisiais skaičiais \(x^2-y^2=91\).

Sprendimas. Išskaidykime kairiąją lygties pusę dauginamaisiais: \((x-y)(x+y) =91\).
Kadangi \(91 = 1 \cdot 91 = 91 \cdot 1 = (-1) \cdot (-91) = (-91)  \cdot (-1) = 7 \cdot 13 = 13 \cdot 7 = (-7)  \cdot (-13) = (-13)  \cdot (-7)\), tai duotosios lygties sprendimas suvedamas į aštuonių sistemų sprendimą:

 \(\begin{cases} x-y=1, \\ x+y=91. \end{cases}\) Šios lygčių sistemos sprendiniai \((46;45)\)
  \(\begin{cases} x-y=-1, \\ x+y=-91. \end{cases}\) Šios lygčių sistemos sprendiniai \((-46;-45)\)
  \(\begin{cases} x-y=7, \\ x+y=13. \end{cases}\) Šios lygčių sistemos sprendiniai \((10;3)\)
  \(\begin{cases} x-y=-7, \\ x+y=-13. \end{cases}\) Šios lygčių sistemos sprendiniai \((-10;-3)\)
  \(\begin{cases} x-y=-91, \\ x+y=1. \end{cases}\) Šios lygčių sistemos sprendiniai \((46;-45)\)
  \(\begin{cases} x-y=-91, \\ x+y=-1. \end{cases}\) Šios lygčių sistemos sprendiniai \((-46;45)\)
  \(\begin{cases} x-y=13, \\ x+y=7. \end{cases}\) Šios lygčių sistemos sprendiniai \((10;-3)\)
  \(\begin{cases} x-y=-13, \\ x+y=-7. \end{cases}\) Šios lygčių sistemos sprendiniai \((-10;3)\)

Atsakymas: \((46;45), (46;-45), (-46;-45), (-46;45), (10;3), (10;-3), (-10;3), (-10;-3)\).

2 pavyzdys: Išspręskime lygtį sveikaisiais skaičiais \(x^3+9=y^3\).

Sprendimas. Perrašykime duotąją lygtį ir išskaidykime kairiąją pusę dauginamaisiais: \((y-x)(y^2+xy+x^2)=91\). Pastebėkime, kad antras dauginamasis yra neneigiamas skaičius su visomis realiosiomis kintamųjų x ir y reikšmėmis: \(y^2+xy+x^2=(y+\frac{x}{2})^2+\frac{3x^2}{4} \ge 0\).  Tai reiškia, kad 91 reikia išskaidyti dviem teigiamais dauginamaisiais. Tai padaryti galima keturiais būdais: \(91=1 \cdot 1=91 \cdot 1=7 \cdot 13=13 \cdot 7\).
Taigi, lygties sprendimas suvedamas į keturių lygčių sistemų sprendimą:

  \(\begin{cases} y-x=1, \\
y^2+xy+x^2=91. \end{cases}\)
Šios lygčių sistemos sprendiniai \((5;6)\) ir \((-6;-5)\).
  \(\begin{cases} y-x=91, \\
y^2+xy+x^2=1. \end{cases}\)
Ši lygčių sistema sveikųjų sprendinių neturi.
  \(\begin{cases} y-x=13, \\
y^2+xy+x^2=7. \end{cases}\)
Ši lygčių sistema sveikųjų sprendinių neturi.
  \(\begin{cases} y-x=7, \\
y^2+xy+x^2=13. \end{cases}\)
Šios lygčių sistemos sprendiniai \((-3;4)\), \((-4;3)\).

Atsakymas: \((5;6), (-6;-5), (-3;4),(-4;3)\).

3 pavyzdys: Išspręskime lygtį sveikaisiais skaičiais \(xy=x+y\).

Sprendimas. Duotąją lygtį perrašome, pridedami po vienetą kairėje ir dešinėje lygties pusėje: \(xy-x-y+1=1\). Dabar, sugrupavę narius kairėje pusėje, galime ją išskaidyti dauginamaisiais: \(x(y-1)-(y-1)=(y-1)(x-1)=1\). Kadangi \(1=1 \cdot 1= (-1) \cdot (-1)\), tai duotosios lygties sprendimas keičiamas dviejų lygčių sistemų sprendimu:
\(\begin{cases} y-1=1, \\ x-1=1. \end{cases}\)
Iš šios sistemos gauname vieną sprendinių porą \((2;2)\).
\(\begin{cases} y-1=-1, \\ x-1=-1. \end{cases}\)
Iš šios sistemos gauname kitą sprendinių porą \((0;0)\).
Atsakymas: \((2;2), (0;0)\).

4 pavyzdys: Išspręskime lygtį natūraliaisiais skaičiais \(2x^2+5xy-12y^2=28\).

Sprendimas. Kairiąją lygties pusę išskaidome dauginamaisiais. Tam tikslui vidurinį narį  pakeičiame algebrine suma \(-3xy+8xy\). Gauname: \(2x^2-3xy+8xy-12y^2=2x(x+4y)-3y(x+4y)=(x+4y)(2x-3y)=28\). Su natūraliosiomis \(x\) ir \(y\) reikšmėmis reiškinio \(x+4y\) reikšmė yra natūralusis skaičius, be to \((x+4y) \ge 5\). Todėl galimi šie variantai: \(28=28 \cdot 1 = 14 \cdot 2 = 7 \cdot 4\) . Nagrinėjamos lygties sprendimas suvedamas į trijų lygčių sistemų sprendimą:
\(\begin{cases} 2x-3y=1, \\ x+4y=28. \end{cases}\)
Šios lygčių sistemos sprendiniai \((8;5)\).
\(\begin{cases} 2x-3y=4, \\ x+4y=7. \end{cases}\)
Ši lygčių sistema natūraliųjų sprendinių neturi.
\(\begin{cases} 2x-3y=2, \\ x+4y=14. \end{cases}\)
Ši lygčių sistema natūraliųjų sprendinių neturi.
Atsakymas: \((8;5)\).

5 pavyzdys: Išspręskite lygtį \(2xy=x^2+2y\) natūraliaisiais skaičiais.

Sprendimas. Duotąją lygtį perrašome tokiu būdu: \(x^2-2xy+2y=0\). Šios lygties kairiąją pusę išskaidome dauginamaisiais, išskirdami pilną kvadratą: \(x^2-2xy+2y=(x^2-2xy+y^2)-y^2+2y=(x^2-2xy+y^2)-(y^2-2y+1)+1=(x-y)^2-(y-1)^2+1\). Gauname lygtį: \((x-y)^2-(y-1)^2+1=0\). Iš čia \((x-y)^2-(y-1)^2=-1\). Iš to seka, kad \((x-y-y+1)(x-y+y-1)=-1\), o tai yra \((x-2y+1)(x-1)=-1\). Kadangi \(-1=(-1) \cdot 1 = 1 \cdot (-1)\), tai duotosios lygties sprendimas keičiamas dviejų lygčių sistemų sprendimu:
\(\begin{cases} x-2y+1=-1, \\ x-1=1. \end{cases}\)
Šios lygčių sistemos sprendiniai \((2;2)\).
\(\begin{cases} x-2y+1=1, \\ x-1=-1. \end{cases}\)
Ši lygčių sistema natūraliųjų sprendinių neturi.
Atsakymas: \((2;2)\).

6 pavyzdys: Išspręskite lygtį sveikaisiais skaičiais:  \(x^2=y^2+2y+13\).

Sprendimas. Perrašome lygtį tokiu būdu: \(x^2-y^2-2y-1=12\). Išskyrę pilnąjį kvadratą kairėje pusėje gauname:  \(x^2-(y+1)^2=(x-y-1)(x+y+1)=12\). Kadangi \(12=1 \cdot 12 = 2 \cdot 6 = 3 \cdot 4 = 4 \cdot 3 = 6 \cdot 2 = 12 \cdot 1 =(-1) \cdot (-12) =\)
\(= (-2) \cdot (-6) = (-3) \cdot (-4) = (-4) \cdot (-3) = (-6) \cdot (-2) = (-12) \cdot (-1)\), tai duotosios lygties sprendimas keičiamas dvylikos lygčių sistemų sprendimu:

 \(\begin{cases} x-y-1=1, \\ x+y+1=12. \end{cases}\) Ši lygčių sistema sveikųjų sprendinių neturi.
 \(\begin{cases} x-y-1=2, \\ x+y+1=6. \end{cases}\) Šios lygčių sistemos sprendinys \((4;1)\).
 \(\begin{cases} x-y-1=3, \\ x+y+1=4. \end{cases}\) Ši lygčių sistema sveikųjų sprendinių neturi.
 \(\begin{cases} x-y-1=12, \\ x+y+1=1. \end{cases}\) Ši lygčių sistema sveikųjų sprendinių neturi.
 \(\begin{cases} x-y-1=6, \\ x+y+1=2. \end{cases}\) Šios lygčių sistemos sprendinys \((4;-3)\).
 \(\begin{cases} x-y-1=4, \\ x+y+1=3. \end{cases}\) Ši lygčių sistema sveikųjų sprendinių neturi.
 \(\begin{cases} x-y-1=-1, \\ x+y+1=-12. \end{cases}\) Ši lygčių sistema sveikųjų sprendinių neturi.
 \(\begin{cases} x-y-1=-2, \\ x+y+1=-6. \end{cases}\) Šios lygčių sistemos sprendinys \((-4;-3)\).
 \(\begin{cases} x-y-1=-3, \\ x+y+1=-4. \end{cases}\) Ši lygčių sistema sveikųjų sprendinių neturi.
 \(\begin{cases} x-y-1=-12, \\ x+y+1=-1. \end{cases}\) Ši lygčių sistema sveikųjų sprendinių neturi.
 \(\begin{cases} x-y-1=-6, \\ x+y+1=-2. \end{cases}\) Šios lygčių sistemos sprendinys \((-4;1)\).
 \(\begin{cases} x-y-1=-4, \\ x+y+1=-3. \end{cases}\) Ši lygčių sistema sveikųjų sprendinių neturi.

Atsakymas: \((4;1), (4; –3), (–4; –3), (–4;1)\).

Lygties su dviem nežinomaisiais, kaip kvadratinės vieno kintamojo atžvilgiu, sprendimas

1 pavyzdys: Išspręskime lygtį sveikaisiais skaičiais \(5x^2+5y^2+8xy+2y-2x+2=0\).

Sprendimas. Šią lygtį galima būtų spręsti skaidant dauginamaisiais, tačiau tai gana sudėtinga užduotis. Lygtį galime išspręsti grakštesniu būdu. Nagrinėkime duotąją lygtį, kaip kvadratinę kintamojo x atžvilgiu: \(5x^2+(8y-2)x+(5y^2+2y+2)=0\). Skaičiuokime šios lygties diskriminantą: \(D=(8y-2)^2-4 \cdot 5 \cdot (5y^2 +2y +2) = 64y^2 -32y + 4 -100y^2-40y-40=-36y^2-72y-36=(-36) \cdot (y^2+2y+1)=\) \(=(-36) \cdot (y+1)^2 \). Taigi, duotoji lygtis turi sprendinius tik tuo atveju, kai diskriminantas lygus nuliui, t.y. \(y=-1\). Skaičiuojame kintamojo x reikšmę: \(x= \frac{-(8y-2)}{10} = \frac{-(-8-2)}{10} =1\).
Atsakymas: \((1;-1)\).

2 pavyzdys: Išspręskime dar vieną lygtį sveikaisiais skaičiais \(3(x^2+xy+y^2)=x+8y\).

Sprendimas. Nagrinėkime šią lygtį kaip kvadratinę kintamojo x atžvilgiu: \(3x^2+(3y-1)x+3y^2-8y=0\) \(({*})\). Skaičiuokime šios lygties diskriminantą \(D=(3y-1)^2 – 3 \cdot 4 \cdot (3y^2 – 8y) =9y^2-6y+1-36y^2+96y=-27y^2+90y+1\). Taigi, duotoji lygtis turi sprendinius tada, kai jos diskriminantas yra neneigiamas, t.y. \(-27y^2+90y+1 \ge 0\), \(y \in [ \frac{-45+\sqrt{2052}}{-27} ; \frac{-45-\sqrt{2052}}{-27} ] \). Šiam intervalui priklauso sveikos reikšmės: \(0, 1, 2, 3\).
1) Kai \(y=0\), tai nagrinėjamoji lygtis virsta tokia: \(3x^2-x=0\). Šios lygties sprendiniai yra \({x_1}=0\) ir \({x_2}=\frac{1}{3}\). Gauname pirmąją sveikųjų skaičių porą, tenkinančią lygtį \(({*})\): \((0;0)\).
2) Kai \(y=1\), tai nagrinėjamoji lygtis virsta tokia: \(3x^2+2x-5=0\). Šios lygties sprendiniai yra \({x_1}=1\) ir \({x_2}=-2\frac{1}{2}\). Gauname antrąją sveikųjų skaičių porą, tenkinančią lygtį \(({*})\): \((1;1)\).
3) Kai \(y=2\), tai nagrinėjamoji lygtis virsta tokia: \(3x^2+5x-4=0\). Šios lygties sprendiniai yra iracionalieji skaičiai \({x_{1{,}2}}=\frac{-5 \pm \sqrt{73}}{6}\).
4) Kai \(y=3\), tai nagrinėjamoji lygtis virsta tokia: \(3x^2+8x+3=0\). Šios lygties sprendiniai yra iracionalieji skaičiai \({x_{1{,}2}}=\frac{-8 \pm \sqrt{28}}{6}\).
Atsakymas: \((0;0), (1;1)\).

Taigi, nagrinėjant lygtis su dviem nežinomaisiais kaip kvadratines vieno iš kintamųjų atžvilgiu, mūsų pagrindinis tikslas yra įvertinti jos diskriminantą.

Liekanų metodas

1 pavyzdys: Išspręskime lygtį \(3x-4y=1\) sveikaisiais skaičiais.

Sprendimas. Perrašykime lygtį tokiu būdu \(3x=4y+1\). Kadangi kairioji pusė dalijasi iš trijų, tai ir \(4y+1\) turi dalytis iš trijų. Išnagrinėkime tris atvejus:
1. Kai \(y=3m,m \in Z\), tai \(4y+1=12m+1\) – šis skaičius iš trijų nesidalija.
2. Kai \(y=3m+1,m \in Z\), tai \(4y+1=4(3m+1)+1=12m+5\)  – šis skaičius iš trijų nesidalija.
3. Kai \(y=3m+2,m \in Z\), tai \(4y+1=4(3m+2)+1=12m+9\) – šis skaičius dalijasi iš trijų.
Todėl \(3x=12m+9\), o tai yra \(x=4m+3\).
Atsakymas: \((4m+3;3m+2),m \in Z \).

2 pavyzdys: Išspręskime lygtį sveikaisiais skaičiais \(3^x=1+y^2\).

Sprendimas. Nesunku pastebėti, kad skaičių pora \((0;0)\) yra duotosios lygties sprendinys. Įrodykime, kad kitų sveikųjų sprendinių lygtis neturi. Nagrinėkime du atvejus:
1) Jeigu \(x\) – natūralusis skaičius, o \(y\) – sveikasis, tai skaičius \(3^x\) dalijasi iš trijų, tačiau dalydami iš trijų dešinę lygties pusę gausime liekaną \(1\) arba \(2\).
2) Jeigu \(x\) – neigiamas sveikasis skaičius, o \(y\) – sveikasis, tai \(0<{3^x}<1\), o \(1+y^2>1\).
Taigi, lygybė \(3^x=1+y^2\) vėl negalima.
Atsakymas: \((0;0)\).

Sveikosios dalies išskyrimas

1 pavyzdys: Aštuonkojis turi aštuonias kojas, o jūros žvaigždė – penkias. Kiek akvariume yra vienų ir kitų, jeigu iš viso yra \(39\) kojos?

Sprendimas. Pažymėkime aštuonkojų skaičių \(x\), o jūros žvaigždžių skaičių \(y\). Tuomet pagal užduoties sąlygą galime sudaryti lygtį: \(8x+5y=39\). Iš lygties išreiškiame kintamąjį y ir išskiriame sveikąją dalį: \(y=\frac{39-8x}{5}=7-x-\frac{3x-4}{5}\). Taigi, skirtumas \(3x-4\) turi dalytis iš penkių.
1. Kai \(3x-4=0\), tai \(x\) nėra natūralusis skaičius.
2. Kai \(3x-4=5\), tai \(x=3,y=3\).
3. Kai \(3x-4=10\), tai \(x\) nėra natūralusis skaičius.
4. Kai \(3x-4=15\), tai \(x\) nėra natūralusis skaičius.
5. Kai \(3x-4=20\), tai \(x=8\), bet \(8 \cdot 8=64>39\).
Atsakymas: \(3\) aštuonkojai ir \(3\) jūros žvaigždės.

2 pavyzdys: Raskime visas sveikųjų skaičių poras, tenkinančias sąlygą \(3xy+14x+7y+71=0\).

Sprendimas. Iš duotosios lygties išreiškiame kintamąjį \(y\) kintamuoju \(x\): \(y= -\frac{14x+71}{3x+17}\). Pastebėkime, kad vardiklis negali būti lygus nuliui, nes \(x\) yra sveikasis skaičius. Gautoje trupmenoje išskirkime sveikąją dalį: \(y=-\frac{4(3x+17)+2x+3}{3x+17}=-4-\frac{2x+3}{3x+17}\). Pastarąją lygybę padauginkime iš trijų: \(3y=-12-\frac{6x+9}{3x+17}\). Gautoje trupmenoje vėl išskiriame sveikąją dalį. Gauname sąryšį: \(3y+14=\frac{25}{3x+17}\).  Kadangi skaičiai \(3y\) ir \(14\) yra sveikieji, tai \(3x+17\) turi būti skaičiaus \(25\) daliklis, t.y. \(3x+17 \in { (\pm 1,\pm 5,\pm 25)}\)– iš viso šešios galimybės.
1)      Kai \(3x+17=1\), tai \(x=-\frac{16}{3}\) nėra sveikasis skaičius.
2)      Kai \(3x+17=-1\), tai \(x=-6\). Tuomet \(3y+14=-25\), o tai yra \(y=-13\). Gauname pirmąją sprendinių porą \((-6; -13)\).
3)      Kai \(3x+17=5\), tai \(x=-4\). Tuomet \(3y+14=5\), o tai yra \(y=-3\). Gauname antrąją sprendinių porą \((-4;-3)\).
4)      Kai \(3x+17=-5\), tai \(x=-\frac{22}{3}\) nėra sveikasis skaičius.
5)      Kai \(3x+17=25\), tai \(x=\frac{8}{3}\) nėra sveikasis skaičius.
6)      Kai \(3x+17=-25\), tai \(x=-14\). Tuomet \(3y+14=-1\), o tai yra \(y=-5\). Gauname trečiąją sprendinių porą \((-14;-5)\).
Atsakymas: \((-6;-13), (-4;-3), (-14;-5)\).

© Bronė Narkevičienė